//This is the ideal Fourier invariants.

ring rQ = 0,(q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8),dp;

ideal Invariants = 
q3*q7-q2*q8,
q5*q6-q4*q7,
q3*q6-q1*q8,
q2*q6-q1*q7,
q2*q4-q1*q5;

// This is the inverse of the Fourier transform.

matrix ptoq[11][8] =
1/16,1/16,1/8,3/16,1/16,1/4,1/8,1/8,
1/8,-1/8,0,1/8,-1/8,1/4,-1/4,0,
1/16,1/16,-1/8,-1/16,1/16,0,1/8,-1/8,
1/16,1/16,-1/8,1/16,-1/16,1/8,0,-1/8,
1/4,-1/4,0,-1/4,1/4,0,0,0,
1/16,1/16,1/8,-3/16,-1/16,-1/8,0,1/8,
1/16,1/16,1/8,-3/16,-1/16,1/8,0,-1/8,
1/16,1/16,-1/8,1/16,-1/16,-1/8,0,1/8,
1/16,1/16,-1/8,-1/16,1/16,0,-1/8,1/8,
1/8,-1/8,0,1/8,-1/8,-1/4,1/4,0,
1/16,1/16,1/8,3/16,1/16,-1/4,-1/8,-1/8;

// This is the ring of probability distributions. 

ring rP = 0,(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11),dp;

//This is the Fourier transform.

matrix qtop[8][11] =
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
1,-1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,
1,0,-1,-1,0,1,1,-1,-1,0,1,
1,1/3,-1/3,1/3,-1/3,-1,-1,1/3,-1/3,1/3,1,
1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,
1,1/2,0,1/2,0,-1/2,1/2,-1/2,0,-1/2,-1,
1,-1,1,0,0,0,0,0,-1,1,-1,
1,0,-1,-1,0,1,-1,1,1,0,-1;


ideal Fourier = qtop*transpose(maxideal(1));

// This is the list of polynomial invariants.

map F = rQ, Fourier;
ideal PInvariants =  F(Invariants); 

// This is the polynomial parametrization.

ring r = 0,(b0,b1,d0,d1,f0,f1,h0,h1),dp;

ideal P = 
b0^2*d0^3*f0^4*h0^5+b0^2*d0^3*f0^4*h1^5+3*b0^2*d0^3*f0^3*f1*h0^4*h1+b0^2*d0^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+b0^2*d0^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0^3*f0^3*f1*h0*h1^4+6*b0^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+6*b0^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0^3*f0*f1^3*h0^4*h1+b0^2*d0^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+b0^2*d0^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0^3*f0*f1^3*h0*h1^4+b0^2*d0^3*f1^4*h0^5+b0^2*d0^3*f1^4*h1^5+2*b0^2*d0^2*d1*f0^4*h0^4*h1+b0^2*d0^2*d1*f0^4*h0^3*h1^2+b0^2*d0^2*d1*f0^4*h0^2*h1^3+2*b0^2*d0^2*d1*f0^4*h0*h1^4+2*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^5+3*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^4*h1+7*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^3*h1^2+7*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0*h1^4+2*b0^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h1^5+2*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^5+8*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^4*h1+8*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+8*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b0^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h1^5+2*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^5+3*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^4*h1+7*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^3*h1^2+7*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0*h1^4+2*b0^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h1^5+2*b0^2*d0^2*d1*f1^4*h0^4*h1+b0^2*d0^2*d1*f1^4*h0^3*h1^2+b0^2*d0^2*d1*f1^4*h0^2*h1^3+2*b0^2*d0^2*d1*f1^4*h0*h1^4+2*b0^2*d0*d1^2*f0^4*h0^4*h1+b0^2*d0*d1^2*f0^4*h0^3*h1^2+b0^2*d0*d1^2*f0^4*h0^2*h1^3+2*b0^2*d0*d1^2*f0^4*h0*h1^4+2*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^5+3*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^4*h1+7*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^3*h1^2+7*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0*h1^4+2*b0^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h1^5+2*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^5+8*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^4*h1+8*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+8*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b0^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h1^5+2*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^5+3*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^4*h1+7*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^3*h1^2+7*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^2*h1^3+3*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0*h1^4+2*b0^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h1^5+2*b0^2*d0*d1^2*f1^4*h0^4*h1+b0^2*d0*d1^2*f1^4*h0^3*h1^2+b0^2*d0*d1^2*f1^4*h0^2*h1^3+2*b0^2*d0*d1^2*f1^4*h0*h1^4+b0^2*d1^3*f0^4*h0^5+b0^2*d1^3*f0^4*h1^5+3*b0^2*d1^3*f0^3*f1*h0^4*h1+b0^2*d1^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+b0^2*d1^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+3*b0^2*d1^3*f0^3*f1*h0*h1^4+6*b0^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+6*b0^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+3*b0^2*d1^3*f0*f1^3*h0^4*h1+b0^2*d1^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+b0^2*d1^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+3*b0^2*d1^3*f0*f1^3*h0*h1^4+b0^2*d1^3*f1^4*h0^5+b0^2*d1^3*f1^4*h1^5+2*b0*b1*d0^3*f0^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0^3*f0^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^3*f0^3*f1*h0^5+6*b0*b1*d0^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+6*b0*b1*d0^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0^3*f0^3*f1*h1^5+8*b0*b1*d0^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+4*b0*b1*d0^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+4*b0*b1*d0^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0*b1*d0^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^3*f0*f1^3*h0^5+6*b0*b1*d0^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+6*b0*b1*d0^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0^3*f0*f1^3*h1^5+2*b0*b1*d0^3*f1^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0^3*f1^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h0^5+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h0^3*h1^2+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^4*h1^5+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^5+12*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^4*h1+10*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^3*h1^2+10*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^2*h1^3+12*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^2*d1*f0^3*f1*h1^5+4*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^5+8*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^4*h1+24*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+24*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0*h1^4+4*b0*b1*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h1^5+2*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^5+12*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^4*h1+10*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^3*h1^2+10*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^2*h1^3+12*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^2*d1*f0*f1^3*h1^5+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h0^5+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h0^3*h1^2+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0^2*d1*f1^4*h1^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h0^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h0^3*h1^2+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^4*h1^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^5+12*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^4*h1+10*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^3*h1^2+10*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^2*h1^3+12*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h0*h1^4+2*b0*b1*d0*d1^2*f0^3*f1*h1^5+4*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^5+8*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^4*h1+24*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+24*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0*h1^4+4*b0*b1*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h1^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^5+12*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^4*h1+10*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^3*h1^2+10*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^2*h1^3+12*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h0*h1^4+2*b0*b1*d0*d1^2*f0*f1^3*h1^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h0^5+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h0^3*h1^2+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d0*d1^2*f1^4*h1^5+2*b0*b1*d1^3*f0^4*h0^4*h1+2*b0*b1*d1^3*f0^4*h0*h1^4+2*b0*b1*d1^3*f0^3*f1*h0^5+6*b0*b1*d1^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+6*b0*b1*d1^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+2*b0*b1*d1^3*f0^3*f1*h1^5+8*b0*b1*d1^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+4*b0*b1*d1^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+4*b0*b1*d1^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+8*b0*b1*d1^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b0*b1*d1^3*f0*f1^3*h0^5+6*b0*b1*d1^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+6*b0*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4+2*b0*b1*d1^3*f1^4*h0^5+2*b0*b1*d1^3*f1^4*h1^5+b1^2*d0^3*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0^3*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^5+3*b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+3*b1^2*d0^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+b1^2*d0^3*f0^3*f1*h1^5+4*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+2*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+2*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^5+3*b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+3*b1^2*d0^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+b1^2*d0^3*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0^3*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0^3*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^5+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^4*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^5+6*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^4*h1+5*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0^3*f1*h1^5+2*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^5+4*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^4*h1+12*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+12*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b1^2*d0^2*d1*f0^2*f1^2*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^5+6*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^4*h1+5*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^5+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0^2*d1*f1^4*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^5+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0^4*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^5+6*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^4*h1+5*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0^3*f1*h1^5+2*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^5+4*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^4*h1+12*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+12*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h0*h1^4+2*b1^2*d0*d1^2*f0^2*f1^2*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^5+6*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^4*h1+5*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^3*h1^2+5*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0^2*h1^3+6*b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^5+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^3*h1^2+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0^2*h1^3+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h0*h1^4+b1^2*d0*d1^2*f1^4*h1^5+b1^2*d1^3*f0^4*h0^4*h1+b1^2*d1^3*f0^4*h0*h1^4+b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^5+3*b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^3*h1^2+3*b1^2*d1^3*f0^3*f1*h0^2*h1^3+b1^2*d1^3*f0^3*f1*h1^5+4*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^4*h1+2*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^3*h1^2+2*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0^2*h1^3+4*b1^2*d1^3*f0^2*f1^2*h0*h1^4+b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^5+3*b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^3*h1^2+3*b1^2*d1^3*f0*f1^3*h0^2*h1^3+b1^2*d1^3*f0*f1^3*h1^5+b1^2*d1^3*f1^4*h0^4*h1+b1^2*d1^3*f1^4*h0*h1^4;

// This checks that the polynomial parametrization
// lies on the probability simplex.
// It requires suma.sing. Most likely, you should 
// change the directory where you saved this file. 

// If you do have this file, you should uncomment
// the following two lines.

// < "/home/lgp/singular/suma.sing";

// Suma(Substitute(0,P));

// This checks that the PInvariants vanish at
// the polynomial parametrization.

map Evaluate = rP, P;

// The following command takes a lot of space and time to
// finish for larger models.

// ideal Z = Evaluate(PInvariants);

setring rP;
ideal Z;
int i;
for (i=1; i<= size(PInvariants); i++)
{
  i;
  Z = PInvariants[i];
  setring r;
  Evaluate(Z);
  setring rP;
}