//This is the ideal Fourier invariants.

ring rQ = 0,(q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9,q10,q11,q12,q13,q14,q15,q16),dp;

ideal Invariants = 
q1*q8*q15-q3*q5*q16,
q4*q6*q15-q2*q7*q16,
q7*q12*q14-q8*q10*q15,
q1*q12*q14-q2*q9*q16,
q5*q11*q14-q6*q9*q15,
q4*q11*q14-q3*q10*q16,
q6*q12*q13-q5*q10*q16,
q3*q12*q13-q4*q9*q15,
q8*q11*q13-q7*q9*q16,
q2*q11*q13-q1*q10*q15,
q2*q8*q13-q4*q5*q14,
q3*q6*q13-q1*q7*q14,
q2*q8*q11-q3*q6*q12,
q4*q5*q11-q1*q7*q12,
q2*q7*q9-q3*q5*q10,
q4*q6*q9-q1*q8*q10,
q1*q4*q14*q15-q2*q3*q13*q16,
q6*q8*q13*q15-q5*q7*q14*q16,
q1*q6*q12*q15-q2*q5*q11*q16,
q4*q8*q11*q15-q3*q7*q12*q16,
q11*q12*q13*q14-q9*q10*q15*q16,
q4*q6*q12*q14-q2*q8*q10*q16,
q3*q5*q12*q14-q2*q8*q9*q15,
q1*q8*q11*q14-q3*q6*q9*q16,
q2*q7*q11*q14-q3*q6*q10*q15,
q1*q8*q12*q13-q4*q5*q9*q16,
q2*q7*q12*q13-q4*q5*q10*q15,
q4*q6*q11*q13-q1*q7*q10*q16,
q3*q5*q11*q13-q1*q7*q9*q15,
q3*q8*q10*q13-q4*q7*q9*q14,
q2*q6*q9*q13-q1*q5*q10*q14,
q5*q8*q10*q11-q6*q7*q9*q12,
q2*q4*q9*q11-q1*q3*q10*q12,
q3*q4*q5*q6-q1*q2*q7*q8;

//This is the inverse of the Fourier transform.

matrix ptoq[16][16] =
1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,
1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,
1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,
1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,
1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,
1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,
1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,
1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,
1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,
1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,
1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,
1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,
1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,
1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,-1/16,1/16,
1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,
1/16,1/16,1/16,1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,-1/16,1/16,1/16,1/16,1/16;

// This is the ring of probability distributions. 

ring rP = 0,(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15,p16),dp;

//This is the Fourier transform.

matrix qtop[16][16] =
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,
1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,
1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,
1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,
1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,
1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,
1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,
1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,
1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,
1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,
1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,
1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,
1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1;

ideal Fourier = qtop*transpose(maxideal(1));

// This is the list of polynomial invariants.

map F = rQ, Fourier;
ideal PInvariants =  F(Invariants); 

// This is the polynomial parametrization.

ring r = 0,(a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,c0,c1,c2,c3),dp;

ideal P = 
a0*b0*c0+a1*b1*c1+a2*b2*c2+a3*b3*c3,
a0*b1*c1+a1*b0*c0+a2*b3*c3+a3*b2*c2,
a0*b2*c2+a1*b3*c3+a2*b0*c0+a3*b1*c1,
a0*b3*c3+a1*b2*c2+a2*b1*c1+a3*b0*c0,
a0*b0*c1+a1*b1*c0+a2*b2*c3+a3*b3*c2,
a0*b1*c0+a1*b0*c1+a2*b3*c2+a3*b2*c3,
a0*b2*c3+a1*b3*c2+a2*b0*c1+a3*b1*c0,
a0*b3*c2+a1*b2*c3+a2*b1*c0+a3*b0*c1,
a0*b0*c2+a1*b1*c3+a2*b2*c0+a3*b3*c1,
a0*b1*c3+a1*b0*c2+a2*b3*c1+a3*b2*c0,
a0*b2*c0+a1*b3*c1+a2*b0*c2+a3*b1*c3,
a0*b3*c1+a1*b2*c0+a2*b1*c3+a3*b0*c2,
a0*b0*c3+a1*b1*c2+a2*b2*c1+a3*b3*c0,
a0*b1*c2+a1*b0*c3+a2*b3*c0+a3*b2*c1,
a0*b2*c1+a1*b3*c0+a2*b0*c3+a3*b1*c2,
a0*b3*c0+a1*b2*c1+a2*b1*c2+a3*b0*c3;

// This checks that the polynomial parametrization
// lies on the probability simplex. 
// It requires suma.sing. Most likely, you should 
// change the directory where you saved this file. 

// If you do have this file, you should uncomment
// the following two lines.

// < "/home/lgp/singular/suma.sing";

// Suma(Substitute(3,P));

// This checks that the PInvariants vanish at
// the polynomial parametrization

map Evaluate = rP, P;

// This command takes a lot of space and time to
// finish for larger models

// ideal Z = Evaluate(PInvariants);

setring rP;
ideal Z;
int i;
for (i=1; i<= size(PInvariants); i++)
{
  i;
  Z = PInvariants[i];
  setring r;
  Evaluate(Z);
  setring rP;
}