Parameter: λ12 Identified
Algebraic Equations:
σ11λ12-σ12,
σ13σ14σ23λ12-σ14σ232-σ132σ24λ12+σ13σ23σ24-σ12σ14σ33λ12+σ14σ22σ33+σ12σ13σ34λ12-σ13σ22σ34
Single Door Criterion:
{1} ⊥ {2} | {}
Parameter: λ13
Parameter: λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ14σ23λ23-σ13σ24λ23-σ14σ33+σ13σ34,
σ122λ23-σ12σ13-σ11σ22λ23+σ11σ23
Single Door Criterion:
{2} ⊥ {3} | {1}
Parameter: λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ13λ34-σ14,
-σ12σ14σ23+σ11σ232λ34+σ12σ13σ24-σ11σ23σ24+σ122σ33λ34-σ11σ22σ33λ34-σ122σ34+σ11σ22σ34
Single Door Criterion:
{3} ⊥ {4} | {1,2}
Instrumental Variable:
1 | {}
Parameter: ω11 Identified
Algebraic Equations:
-σ11+ω11
Parameter: ω13
Parameter: ω22 Identified
Algebraic Equations:
σ122-σ11σ22+σ11ω22,
-σ13σ14σ22σ23+σ12σ14σ232+σ132σ22σ24-σ12σ13σ23σ24+σ13σ14σ23ω22-σ132σ24ω22-σ12σ14σ33ω22+σ12σ13σ34ω22
Parameter: ω24 Identified
Algebraic Equations:
σ14σ23-σ13σ24+σ13ω24,
σ12σ14σ232-σ12σ13σ23σ24-σ122σ24σ33+σ11σ22σ24σ33+σ122σ23σ34-σ11σ22σ23σ34+σ11σ232ω24+σ122σ33ω24-σ11σ22σ33ω24
Parameter: ω33
Parameter: ω44 Identified
Algebraic Equations:
-σ142σ33+2σ13σ14σ34-σ132σ44+σ132ω44,
-σ12σ142σ23σ33+σ12σ13σ14σ24σ33-σ11σ14σ23σ24σ33+2σ11σ14σ232σ34+σ122σ14σ33σ34-σ11σ14σ22σ33σ34-σ11σ13σ232σ44-σ122σ13σ33σ44+σ11σ13σ22σ33σ44+σ11σ13σ232ω44+σ122σ13σ33ω44-σ11σ13σ22σ33ω44,
-σ122σ142σ232σ33+σ122σ132σ242σ33-σ112σ232σ242σ33+2σ123σ14σ24σ332-2σ11σ12σ14σ22σ24σ332+2σ11σ12σ14σ233σ34-2σ11σ12σ13σ232σ24σ34+2σ112σ233σ24σ34-2σ123σ13σ24σ33σ34+2σ11σ12σ13σ22σ24σ33σ34+2σ11σ122σ232σ342-2σ112σ22σ232σ342+σ124σ33σ342-2σ11σ122σ22σ33σ342+σ112σ222σ33σ342-σ112σ234σ44-2σ11σ122σ232σ33σ44+2σ112σ22σ232σ33σ44-σ124σ332σ44+2σ11σ122σ22σ332σ44-σ112σ222σ332σ44+σ112σ234ω44+2σ11σ122σ232σ33ω44-2σ112σ22σ232σ33ω44+σ124σ332ω44-2σ11σ122σ22σ332ω44+σ112σ222σ332ω44,
-σ122σ143σ23σ33+σ122σ13σ142σ24σ33-σ11σ12σ142σ23σ24σ33+2σ11σ12σ142σ232σ34+σ123σ142σ33σ34-σ11σ12σ142σ22σ33σ34-σ112σ14σ233σ44-σ11σ12σ132σ23σ24σ44+σ112σ13σ232σ24σ44-σ123σ13σ14σ33σ44+σ11σ12σ13σ14σ22σ33σ44-σ11σ122σ14σ23σ33σ44+σ112σ14σ22σ23σ33σ44+σ11σ122σ13σ23σ34σ44-σ112σ13σ22σ23σ34σ44+σ112σ14σ233ω44+σ11σ12σ132σ23σ24ω44-σ112σ13σ232σ24ω44+σ123σ13σ14σ33ω44-σ11σ12σ13σ14σ22σ33ω44+σ11σ122σ14σ23σ33ω44-σ112σ14σ22σ23σ33ω44-σ11σ122σ13σ23σ34ω44+σ112σ13σ22σ23σ34ω44
Total Effect of X1 on X3: λ12λ23+λ13
Path-specific Effect of X1 on X3: λ12λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ11σ14σ23λ12λ23-σ11σ13σ24λ12λ23-σ12σ14σ33+σ12σ13σ34,
σ11σ122λ12λ23-σ122σ13-σ112σ22λ12λ23+σ11σ12σ23,
σ13σ142σ232λ12λ23-2σ132σ14σ23σ24λ12λ23+σ133σ242λ12λ23-σ12σ142σ23σ33λ12λ23-σ142σ232σ33+σ12σ13σ14σ24σ33λ12λ23+σ13σ14σ23σ24σ33+σ142σ22σ332+σ13σ14σ232σ34-σ132σ23σ24σ34+σ122σ14σ33σ34λ12λ23-σ11σ14σ22σ33σ34λ12λ23-2σ13σ14σ22σ33σ34+σ12σ14σ23σ33σ34-σ122σ13σ342λ12λ23+σ11σ13σ22σ342λ12λ23+σ132σ22σ342-σ12σ13σ23σ342
Total Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34+λ13λ34
Path-specific Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ11σ13σ14σ23λ12λ23λ34-σ11σ132σ24λ12λ23λ34-σ12σ142σ33+σ12σ13σ14σ34,
σ11σ122σ13λ12λ23λ34-σ122σ13σ14-σ112σ13σ22λ12λ23λ34+σ11σ12σ14σ23,
σ112σ14σ232λ12λ23λ34-σ112σ13σ23σ24λ12λ23λ34+σ11σ122σ14σ33λ12λ23λ34-σ122σ142σ33-σ112σ14σ22σ33λ12λ23λ34-σ11σ122σ13σ34λ12λ23λ34+σ122σ13σ14σ34+σ112σ13σ22σ34λ12λ23λ34,
σ132σ142σ232λ12λ23λ34-2σ133σ14σ23σ24λ12λ23λ34+σ134σ242λ12λ23λ34-σ11σ142σ232σ33λ12λ23λ34-σ143σ232σ33+σ13σ142σ23σ24σ33+σ11σ132σ242σ33λ12λ23λ34-σ122σ142σ332λ12λ23λ34+σ11σ142σ22σ332λ12λ23λ34+σ143σ22σ332+σ12σ142σ24σ332+σ13σ142σ232σ34-σ132σ14σ23σ24σ34+2σ122σ13σ14σ33σ34λ12λ23λ34-2σ11σ13σ14σ22σ33σ34λ12λ23λ34-2σ13σ142σ22σ33σ34+σ12σ142σ23σ33σ34-σ12σ13σ14σ24σ33σ34-σ122σ132σ342λ12λ23λ34+σ11σ132σ22σ342λ12λ23λ34+σ132σ14σ22σ342-σ11σ14σ232σ342-σ12σ132σ24σ342+σ11σ13σ23σ24σ342-σ122σ14σ33σ342+σ11σ14σ22σ33σ342+σ122σ13σ343-σ11σ13σ22σ343,
σ112σ122σ232λ12λ23λ34-σ113σ22σ232λ12λ23λ34-σ11σ122σ13σ23σ24+σ112σ12σ232σ24+σ11σ124σ33λ12λ23λ34-σ124σ14σ33-2σ112σ122σ22σ33λ12λ23λ34+σ11σ122σ14σ22σ33+σ113σ222σ33λ12λ23λ34+σ11σ123σ23σ34-σ112σ12σ22σ23σ34
Path-specific Effect of X1 on X4: λ13λ34
Total Effect of X2 on X4: λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Constraint Set:
σ12σ13σ14σ23-σ11σ14σ232-σ12σ132σ24+σ11σ13σ23σ24-σ122σ14σ33+σ11σ14σ22σ33+σ122σ13σ34-σ11σ13σ22σ34
Non-determinantal constraints:
list non_determinantal = 1;
Trek-separation:
Algebraic Equations:
σ11λ12-σ12,
σ13σ14σ23λ12-σ14σ232-σ132σ24λ12+σ13σ23σ24-σ12σ14σ33λ12+σ14σ22σ33+σ12σ13σ34λ12-σ13σ22σ34
Single Door Criterion:
{1} ⊥ {2} | {}
Parameter: λ13
Parameter: λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ14σ23λ23-σ13σ24λ23-σ14σ33+σ13σ34,
σ122λ23-σ12σ13-σ11σ22λ23+σ11σ23
Single Door Criterion:
{2} ⊥ {3} | {1}
Parameter: λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ13λ34-σ14,
-σ12σ14σ23+σ11σ232λ34+σ12σ13σ24-σ11σ23σ24+σ122σ33λ34-σ11σ22σ33λ34-σ122σ34+σ11σ22σ34
Single Door Criterion:
{3} ⊥ {4} | {1,2}
Instrumental Variable:
1 | {}
Parameter: ω11 Identified
Algebraic Equations:
-σ11+ω11
Parameter: ω13
Parameter: ω22 Identified
Algebraic Equations:
σ122-σ11σ22+σ11ω22,
-σ13σ14σ22σ23+σ12σ14σ232+σ132σ22σ24-σ12σ13σ23σ24+σ13σ14σ23ω22-σ132σ24ω22-σ12σ14σ33ω22+σ12σ13σ34ω22
Parameter: ω24 Identified
Algebraic Equations:
σ14σ23-σ13σ24+σ13ω24,
σ12σ14σ232-σ12σ13σ23σ24-σ122σ24σ33+σ11σ22σ24σ33+σ122σ23σ34-σ11σ22σ23σ34+σ11σ232ω24+σ122σ33ω24-σ11σ22σ33ω24
Parameter: ω33
Parameter: ω44 Identified
Algebraic Equations:
-σ142σ33+2σ13σ14σ34-σ132σ44+σ132ω44,
-σ12σ142σ23σ33+σ12σ13σ14σ24σ33-σ11σ14σ23σ24σ33+2σ11σ14σ232σ34+σ122σ14σ33σ34-σ11σ14σ22σ33σ34-σ11σ13σ232σ44-σ122σ13σ33σ44+σ11σ13σ22σ33σ44+σ11σ13σ232ω44+σ122σ13σ33ω44-σ11σ13σ22σ33ω44,
-σ122σ142σ232σ33+σ122σ132σ242σ33-σ112σ232σ242σ33+2σ123σ14σ24σ332-2σ11σ12σ14σ22σ24σ332+2σ11σ12σ14σ233σ34-2σ11σ12σ13σ232σ24σ34+2σ112σ233σ24σ34-2σ123σ13σ24σ33σ34+2σ11σ12σ13σ22σ24σ33σ34+2σ11σ122σ232σ342-2σ112σ22σ232σ342+σ124σ33σ342-2σ11σ122σ22σ33σ342+σ112σ222σ33σ342-σ112σ234σ44-2σ11σ122σ232σ33σ44+2σ112σ22σ232σ33σ44-σ124σ332σ44+2σ11σ122σ22σ332σ44-σ112σ222σ332σ44+σ112σ234ω44+2σ11σ122σ232σ33ω44-2σ112σ22σ232σ33ω44+σ124σ332ω44-2σ11σ122σ22σ332ω44+σ112σ222σ332ω44,
-σ122σ143σ23σ33+σ122σ13σ142σ24σ33-σ11σ12σ142σ23σ24σ33+2σ11σ12σ142σ232σ34+σ123σ142σ33σ34-σ11σ12σ142σ22σ33σ34-σ112σ14σ233σ44-σ11σ12σ132σ23σ24σ44+σ112σ13σ232σ24σ44-σ123σ13σ14σ33σ44+σ11σ12σ13σ14σ22σ33σ44-σ11σ122σ14σ23σ33σ44+σ112σ14σ22σ23σ33σ44+σ11σ122σ13σ23σ34σ44-σ112σ13σ22σ23σ34σ44+σ112σ14σ233ω44+σ11σ12σ132σ23σ24ω44-σ112σ13σ232σ24ω44+σ123σ13σ14σ33ω44-σ11σ12σ13σ14σ22σ33ω44+σ11σ122σ14σ23σ33ω44-σ112σ14σ22σ23σ33ω44-σ11σ122σ13σ23σ34ω44+σ112σ13σ22σ23σ34ω44
Total Effect of X1 on X3: λ12λ23+λ13
Path-specific Effect of X1 on X3: λ12λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ11σ14σ23λ12λ23-σ11σ13σ24λ12λ23-σ12σ14σ33+σ12σ13σ34,
σ11σ122λ12λ23-σ122σ13-σ112σ22λ12λ23+σ11σ12σ23,
σ13σ142σ232λ12λ23-2σ132σ14σ23σ24λ12λ23+σ133σ242λ12λ23-σ12σ142σ23σ33λ12λ23-σ142σ232σ33+σ12σ13σ14σ24σ33λ12λ23+σ13σ14σ23σ24σ33+σ142σ22σ332+σ13σ14σ232σ34-σ132σ23σ24σ34+σ122σ14σ33σ34λ12λ23-σ11σ14σ22σ33σ34λ12λ23-2σ13σ14σ22σ33σ34+σ12σ14σ23σ33σ34-σ122σ13σ342λ12λ23+σ11σ13σ22σ342λ12λ23+σ132σ22σ342-σ12σ13σ23σ342
Total Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34+λ13λ34
Path-specific Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ11σ13σ14σ23λ12λ23λ34-σ11σ132σ24λ12λ23λ34-σ12σ142σ33+σ12σ13σ14σ34,
σ11σ122σ13λ12λ23λ34-σ122σ13σ14-σ112σ13σ22λ12λ23λ34+σ11σ12σ14σ23,
σ112σ14σ232λ12λ23λ34-σ112σ13σ23σ24λ12λ23λ34+σ11σ122σ14σ33λ12λ23λ34-σ122σ142σ33-σ112σ14σ22σ33λ12λ23λ34-σ11σ122σ13σ34λ12λ23λ34+σ122σ13σ14σ34+σ112σ13σ22σ34λ12λ23λ34,
σ132σ142σ232λ12λ23λ34-2σ133σ14σ23σ24λ12λ23λ34+σ134σ242λ12λ23λ34-σ11σ142σ232σ33λ12λ23λ34-σ143σ232σ33+σ13σ142σ23σ24σ33+σ11σ132σ242σ33λ12λ23λ34-σ122σ142σ332λ12λ23λ34+σ11σ142σ22σ332λ12λ23λ34+σ143σ22σ332+σ12σ142σ24σ332+σ13σ142σ232σ34-σ132σ14σ23σ24σ34+2σ122σ13σ14σ33σ34λ12λ23λ34-2σ11σ13σ14σ22σ33σ34λ12λ23λ34-2σ13σ142σ22σ33σ34+σ12σ142σ23σ33σ34-σ12σ13σ14σ24σ33σ34-σ122σ132σ342λ12λ23λ34+σ11σ132σ22σ342λ12λ23λ34+σ132σ14σ22σ342-σ11σ14σ232σ342-σ12σ132σ24σ342+σ11σ13σ23σ24σ342-σ122σ14σ33σ342+σ11σ14σ22σ33σ342+σ122σ13σ343-σ11σ13σ22σ343,
σ112σ122σ232λ12λ23λ34-σ113σ22σ232λ12λ23λ34-σ11σ122σ13σ23σ24+σ112σ12σ232σ24+σ11σ124σ33λ12λ23λ34-σ124σ14σ33-2σ112σ122σ22σ33λ12λ23λ34+σ11σ122σ14σ22σ33+σ113σ222σ33λ12λ23λ34+σ11σ123σ23σ34-σ112σ12σ22σ23σ34
Path-specific Effect of X1 on X4: λ13λ34
Total Effect of X2 on X4: λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Vanishing Ideal
Constraint Set:
σ12σ13σ14σ23-σ11σ14σ232-σ12σ132σ24+σ11σ13σ23σ24-σ122σ14σ33+σ11σ14σ22σ33+σ122σ13σ34-σ11σ13σ22σ34
Non-determinantal constraints:
list non_determinantal = 1;
Trek-separation: