Parameter: λ12 Identified
Algebraic Equations:
σ11λ12-σ12,
σ14σ232λ12-σ13σ23σ24λ12-σ14σ22σ33λ12+σ22σ24σ33+σ12σ23σ34λ12-σ22σ23σ34
Single Door Criterion:
{1} ⊥ {2,3} | {}
Parameter: λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ22λ23-σ23,
σ12λ23-σ13
Single Door Criterion:
{2} ⊥ {3} | {}
{2} ⊥ {3,4} | {1}
Instrumental Variable:
1 | {}
Parameter: λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ232λ34-σ23σ24-σ22σ33λ34+σ22σ34,
σ13σ23λ34-σ13σ24-σ12σ33λ34+σ12σ34,
σ132λ34-σ13σ14-σ11σ33λ34+σ11σ34,
σ12σ13λ34-σ12σ14-σ11σ23λ34+σ11σ24,
-σ12σ14σ23+σ12σ13σ24+σ122σ33λ34-σ11σ22σ33λ34-σ122σ34+σ11σ22σ34,
-σ12σ14σ22+σ122σ23λ34-σ11σ22σ23λ34+σ11σ22σ24
Single Door Criterion:
{3} ⊥ {1,4} | {2}
{3} ⊥ {4} | {1}
{3} ⊥ {4} | {1,2}
Instrumental Variable:
2 | {1}
Parameter: ω11 Identified
Algebraic Equations:
-σ11+ω11
Parameter: ω14 Identified
Algebraic Equations:
-σ14σ232+σ13σ23σ24+σ14σ22σ33-σ12σ23σ34+σ232ω14-σ22σ33ω14,
σ11σ24σ33-σ11σ23σ34+σ13σ23ω14-σ12σ33ω14,
σ11σ14σ33-σ11σ13σ34+σ132ω14-σ11σ33ω14,
σ11σ14σ23-σ11σ13σ24+σ12σ13ω14-σ11σ23ω14,
σ11σ14σ22-σ11σ12σ24+σ122ω14-σ11σ22ω14
Parameter: ω22 Identified
Algebraic Equations:
σ122-σ11σ22+σ11ω22,
-σ14σ22σ232+σ12σ232σ24+σ14σ222σ33-σ12σ22σ24σ33+σ14σ232ω22-σ13σ23σ24ω22-σ14σ22σ33ω22+σ12σ23σ34ω22
Parameter: ω33 Identified
Algebraic Equations:
σ232-σ22σ33+σ22ω33,
σ13σ23-σ12σ33+σ12ω33
Parameter: ω44 Identified
Algebraic Equations:
-σ12σ14σ24σ33+σ11σ242σ33+σ12σ14σ23σ34+σ12σ13σ24σ34-2σ11σ23σ24σ34-σ122σ342+σ11σ22σ342-σ12σ13σ23σ44+σ11σ232σ44+σ122σ33σ44-σ11σ22σ33σ44+σ12σ13σ23ω44-σ11σ232ω44-σ122σ33ω44+σ11σ22σ33ω44,
-σ232σ242σ33+2σ233σ24σ34-2σ22σ232σ342+σ222σ33σ342-σ234σ44+2σ22σ232σ33σ44-σ222σ332σ44+σ234ω44-2σ22σ232σ33ω44+σ222σ332ω44,
-σ13σ23σ242σ33+2σ13σ232σ24σ34-2σ12σ232σ342+σ12σ22σ33σ342-σ13σ233σ44+2σ12σ232σ33σ44-σ12σ22σ332σ44+σ13σ233ω44-2σ12σ232σ33ω44+σ12σ22σ332ω44,
σ12σ142σ24σ33-σ11σ14σ242σ33-σ12σ142σ23σ34-σ12σ13σ14σ24σ34+2σ11σ14σ23σ24σ34+σ122σ14σ342-σ11σ14σ22σ342-σ11σ14σ232σ44+σ12σ132σ24σ44+σ11σ14σ22σ33σ44-σ11σ12σ24σ33σ44-σ122σ13σ34σ44+σ11σ12σ23σ34σ44+σ11σ14σ232ω44-σ12σ132σ24ω44-σ11σ14σ22σ33ω44+σ11σ12σ24σ33ω44+σ122σ13σ34ω44-σ11σ12σ23σ34ω44,
-σ132σ242σ33-2σ12σ14σ24σ332+2σ11σ242σ332+2σ132σ23σ24σ34+2σ12σ14σ23σ33σ34+2σ12σ13σ24σ33σ34-4σ11σ23σ24σ33σ34-2σ12σ13σ23σ342-σ122σ33σ342+2σ11σ22σ33σ342-σ132σ232σ44+2σ11σ232σ33σ44+σ122σ332σ44-2σ11σ22σ332σ44+σ132σ232ω44-2σ11σ232σ33ω44-σ122σ332ω44+2σ11σ22σ332ω44,
-σ12σ14σ22σ24σ33+σ11σ22σ242σ33+σ12σ14σ22σ23σ34+σ122σ23σ24σ34-2σ11σ22σ23σ24σ34-σ122σ22σ342+σ11σ222σ342-σ122σ232σ44+σ11σ22σ232σ44+σ122σ22σ33σ44-σ11σ222σ33σ44+σ122σ232ω44-σ11σ22σ232ω44-σ122σ22σ33ω44+σ11σ222σ33ω44,
-σ132σ14σ24σ33+2σ133σ24σ34+σ12σ13σ14σ33σ34-σ11σ13σ24σ33σ34-2σ12σ132σ342+σ11σ12σ33σ342-σ133σ23σ44+σ12σ132σ33σ44+σ11σ13σ23σ33σ44-σ11σ12σ332σ44+σ133σ23ω44-σ12σ132σ33ω44-σ11σ13σ23σ33ω44+σ11σ12σ332ω44,
-σ132σ142σ33+2σ133σ14σ34-2σ11σ132σ342+σ112σ33σ342-σ134σ44+2σ11σ132σ33σ44-σ112σ332σ44+σ134ω44-2σ11σ132σ33ω44+σ112σ332ω44,
-σ12σ13σ142σ33+σ11σ13σ14σ24σ33+2σ12σ132σ14σ34-2σ11σ132σ24σ34-σ11σ12σ14σ33σ34+σ112σ24σ33σ34-σ12σ133σ44+σ11σ132σ23σ44+σ11σ12σ13σ33σ44-σ112σ23σ33σ44+σ12σ133ω44-σ11σ132σ23ω44-σ11σ12σ13σ33ω44+σ112σ23σ33ω44,
-σ122σ142σ33+σ112σ242σ33+2σ122σ13σ14σ34-2σ112σ23σ24σ34-2σ11σ122σ342+2σ112σ22σ342-σ122σ132σ44+σ112σ232σ44+2σ11σ122σ33σ44-2σ112σ22σ33σ44+σ122σ132ω44-σ112σ232ω44-2σ11σ122σ33ω44+2σ112σ22σ33ω44,
-σ122σ142σ23+σ122σ13σ14σ24+σ11σ12σ14σ23σ24-σ11σ12σ13σ242+σ123σ14σ34-σ11σ12σ14σ22σ34-σ11σ122σ24σ34+σ112σ22σ24σ34-σ123σ13σ44+2σ11σ122σ23σ44-σ112σ22σ23σ44+σ123σ13ω44-2σ11σ122σ23ω44+σ112σ22σ23ω44,
-σ122σ142σ22σ33+σ123σ14σ24σ33+σ11σ12σ14σ22σ24σ33-σ11σ122σ242σ33+σ123σ14σ23σ34-σ11σ12σ14σ22σ23σ34-σ123σ13σ24σ34+σ11σ122σ23σ24σ34+σ124σ342-2σ11σ122σ22σ342+σ112σ222σ342-σ124σ33σ44+2σ11σ122σ22σ33σ44-σ112σ222σ33σ44+σ124σ33ω44-2σ11σ122σ22σ33ω44+σ112σ222σ33ω44,
-σ122σ142σ22σ23+σ123σ14σ23σ24+σ11σ12σ14σ22σ23σ24-σ11σ122σ23σ242+σ123σ14σ22σ34-σ11σ12σ14σ222σ34-σ11σ122σ22σ24σ34+σ112σ222σ24σ34-σ124σ23σ44+2σ11σ122σ22σ23σ44-σ112σ222σ23σ44+σ124σ23ω44-2σ11σ122σ22σ23ω44+σ112σ222σ23ω44
Total Effect of X1 on X3: λ12λ23 Identified
Each Parameter Identified
Back Door Criterion:
{1} ⊥ {2,3} | {}
Total Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Total Effect of X2 on X4: λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Back Door Criterion:
{2} ⊥ {3,4} | {1}
Constraint Set:
σ13σ22-σ12σ23,
σ13σ14σ23-σ132σ24-σ12σ14σ33+σ11σ24σ33+σ12σ13σ34-σ11σ23σ34
All constraints are determinantal
Trek-separation:
{1,2} ⊥ {2,3} | ({},{2})
{1,2,3} ⊥ {3,1,4} | ({1},{3})
Algebraic Equations:
σ11λ12-σ12,
σ14σ232λ12-σ13σ23σ24λ12-σ14σ22σ33λ12+σ22σ24σ33+σ12σ23σ34λ12-σ22σ23σ34
Single Door Criterion:
{1} ⊥ {2,3} | {}
Parameter: λ23 Identified
Algebraic Equations:
σ22λ23-σ23,
σ12λ23-σ13
Single Door Criterion:
{2} ⊥ {3} | {}
{2} ⊥ {3,4} | {1}
Instrumental Variable:
1 | {}
Parameter: λ34 Identified
Algebraic Equations:
σ232λ34-σ23σ24-σ22σ33λ34+σ22σ34,
σ13σ23λ34-σ13σ24-σ12σ33λ34+σ12σ34,
σ132λ34-σ13σ14-σ11σ33λ34+σ11σ34,
σ12σ13λ34-σ12σ14-σ11σ23λ34+σ11σ24,
-σ12σ14σ23+σ12σ13σ24+σ122σ33λ34-σ11σ22σ33λ34-σ122σ34+σ11σ22σ34,
-σ12σ14σ22+σ122σ23λ34-σ11σ22σ23λ34+σ11σ22σ24
Single Door Criterion:
{3} ⊥ {1,4} | {2}
{3} ⊥ {4} | {1}
{3} ⊥ {4} | {1,2}
Instrumental Variable:
2 | {1}
Parameter: ω11 Identified
Algebraic Equations:
-σ11+ω11
Parameter: ω14 Identified
Algebraic Equations:
-σ14σ232+σ13σ23σ24+σ14σ22σ33-σ12σ23σ34+σ232ω14-σ22σ33ω14,
σ11σ24σ33-σ11σ23σ34+σ13σ23ω14-σ12σ33ω14,
σ11σ14σ33-σ11σ13σ34+σ132ω14-σ11σ33ω14,
σ11σ14σ23-σ11σ13σ24+σ12σ13ω14-σ11σ23ω14,
σ11σ14σ22-σ11σ12σ24+σ122ω14-σ11σ22ω14
Parameter: ω22 Identified
Algebraic Equations:
σ122-σ11σ22+σ11ω22,
-σ14σ22σ232+σ12σ232σ24+σ14σ222σ33-σ12σ22σ24σ33+σ14σ232ω22-σ13σ23σ24ω22-σ14σ22σ33ω22+σ12σ23σ34ω22
Parameter: ω33 Identified
Algebraic Equations:
σ232-σ22σ33+σ22ω33,
σ13σ23-σ12σ33+σ12ω33
Parameter: ω44 Identified
Algebraic Equations:
-σ12σ14σ24σ33+σ11σ242σ33+σ12σ14σ23σ34+σ12σ13σ24σ34-2σ11σ23σ24σ34-σ122σ342+σ11σ22σ342-σ12σ13σ23σ44+σ11σ232σ44+σ122σ33σ44-σ11σ22σ33σ44+σ12σ13σ23ω44-σ11σ232ω44-σ122σ33ω44+σ11σ22σ33ω44,
-σ232σ242σ33+2σ233σ24σ34-2σ22σ232σ342+σ222σ33σ342-σ234σ44+2σ22σ232σ33σ44-σ222σ332σ44+σ234ω44-2σ22σ232σ33ω44+σ222σ332ω44,
-σ13σ23σ242σ33+2σ13σ232σ24σ34-2σ12σ232σ342+σ12σ22σ33σ342-σ13σ233σ44+2σ12σ232σ33σ44-σ12σ22σ332σ44+σ13σ233ω44-2σ12σ232σ33ω44+σ12σ22σ332ω44,
σ12σ142σ24σ33-σ11σ14σ242σ33-σ12σ142σ23σ34-σ12σ13σ14σ24σ34+2σ11σ14σ23σ24σ34+σ122σ14σ342-σ11σ14σ22σ342-σ11σ14σ232σ44+σ12σ132σ24σ44+σ11σ14σ22σ33σ44-σ11σ12σ24σ33σ44-σ122σ13σ34σ44+σ11σ12σ23σ34σ44+σ11σ14σ232ω44-σ12σ132σ24ω44-σ11σ14σ22σ33ω44+σ11σ12σ24σ33ω44+σ122σ13σ34ω44-σ11σ12σ23σ34ω44,
-σ132σ242σ33-2σ12σ14σ24σ332+2σ11σ242σ332+2σ132σ23σ24σ34+2σ12σ14σ23σ33σ34+2σ12σ13σ24σ33σ34-4σ11σ23σ24σ33σ34-2σ12σ13σ23σ342-σ122σ33σ342+2σ11σ22σ33σ342-σ132σ232σ44+2σ11σ232σ33σ44+σ122σ332σ44-2σ11σ22σ332σ44+σ132σ232ω44-2σ11σ232σ33ω44-σ122σ332ω44+2σ11σ22σ332ω44,
-σ12σ14σ22σ24σ33+σ11σ22σ242σ33+σ12σ14σ22σ23σ34+σ122σ23σ24σ34-2σ11σ22σ23σ24σ34-σ122σ22σ342+σ11σ222σ342-σ122σ232σ44+σ11σ22σ232σ44+σ122σ22σ33σ44-σ11σ222σ33σ44+σ122σ232ω44-σ11σ22σ232ω44-σ122σ22σ33ω44+σ11σ222σ33ω44,
-σ132σ14σ24σ33+2σ133σ24σ34+σ12σ13σ14σ33σ34-σ11σ13σ24σ33σ34-2σ12σ132σ342+σ11σ12σ33σ342-σ133σ23σ44+σ12σ132σ33σ44+σ11σ13σ23σ33σ44-σ11σ12σ332σ44+σ133σ23ω44-σ12σ132σ33ω44-σ11σ13σ23σ33ω44+σ11σ12σ332ω44,
-σ132σ142σ33+2σ133σ14σ34-2σ11σ132σ342+σ112σ33σ342-σ134σ44+2σ11σ132σ33σ44-σ112σ332σ44+σ134ω44-2σ11σ132σ33ω44+σ112σ332ω44,
-σ12σ13σ142σ33+σ11σ13σ14σ24σ33+2σ12σ132σ14σ34-2σ11σ132σ24σ34-σ11σ12σ14σ33σ34+σ112σ24σ33σ34-σ12σ133σ44+σ11σ132σ23σ44+σ11σ12σ13σ33σ44-σ112σ23σ33σ44+σ12σ133ω44-σ11σ132σ23ω44-σ11σ12σ13σ33ω44+σ112σ23σ33ω44,
-σ122σ142σ33+σ112σ242σ33+2σ122σ13σ14σ34-2σ112σ23σ24σ34-2σ11σ122σ342+2σ112σ22σ342-σ122σ132σ44+σ112σ232σ44+2σ11σ122σ33σ44-2σ112σ22σ33σ44+σ122σ132ω44-σ112σ232ω44-2σ11σ122σ33ω44+2σ112σ22σ33ω44,
-σ122σ142σ23+σ122σ13σ14σ24+σ11σ12σ14σ23σ24-σ11σ12σ13σ242+σ123σ14σ34-σ11σ12σ14σ22σ34-σ11σ122σ24σ34+σ112σ22σ24σ34-σ123σ13σ44+2σ11σ122σ23σ44-σ112σ22σ23σ44+σ123σ13ω44-2σ11σ122σ23ω44+σ112σ22σ23ω44,
-σ122σ142σ22σ33+σ123σ14σ24σ33+σ11σ12σ14σ22σ24σ33-σ11σ122σ242σ33+σ123σ14σ23σ34-σ11σ12σ14σ22σ23σ34-σ123σ13σ24σ34+σ11σ122σ23σ24σ34+σ124σ342-2σ11σ122σ22σ342+σ112σ222σ342-σ124σ33σ44+2σ11σ122σ22σ33σ44-σ112σ222σ33σ44+σ124σ33ω44-2σ11σ122σ22σ33ω44+σ112σ222σ33ω44,
-σ122σ142σ22σ23+σ123σ14σ23σ24+σ11σ12σ14σ22σ23σ24-σ11σ122σ23σ242+σ123σ14σ22σ34-σ11σ12σ14σ222σ34-σ11σ122σ22σ24σ34+σ112σ222σ24σ34-σ124σ23σ44+2σ11σ122σ22σ23σ44-σ112σ222σ23σ44+σ124σ23ω44-2σ11σ122σ22σ23ω44+σ112σ222σ23ω44
Total Effect of X1 on X3: λ12λ23 Identified
Each Parameter Identified
Back Door Criterion:
{1} ⊥ {2,3} | {}
Total Effect of X1 on X4: λ12λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Total Effect of X2 on X4: λ23λ34 Identified
Each Parameter Identified
Back Door Criterion:
{2} ⊥ {3,4} | {1}
Vanishing Ideal
Constraint Set:
σ13σ22-σ12σ23,
σ13σ14σ23-σ132σ24-σ12σ14σ33+σ11σ24σ33+σ12σ13σ34-σ11σ23σ34
All constraints are determinantal
Trek-separation:
{1,2} ⊥ {2,3} | ({},{2})
{1,2,3} ⊥ {3,1,4} | ({1},{3})