Parameter: λ₁₄ Identified

Algebraic Equations:

σ₁₃σ₂₃λ₁₄-σ₁₂σ₃₃λ₁₄+σ₂₄σ₃₃-σ₂₃σ₃₄,
σ₁₃²λ₁₄-σ₁₁σ₃₃λ₁₄+σ₁₄σ₃₃-σ₁₃σ₃₄,
σ₁₂σ₁₃λ₁₄-σ₁₁σ₂₃λ₁₄+σ₁₄σ₂₃-σ₁₃σ₂₄,
σ₁₂²λ₁₄-σ₁₁σ₂₂λ₁₄+σ₁₄σ₂₂-σ₁₂σ₂₄,
σ₁₂σ₂₃²λ₁₄-σ₁₂σ₂₂σ₃₃λ₁₄+σ₂₂σ₂₄σ₃₃-σ₂₂σ₂₃σ₃₄,
σ₁₁σ₂₃²λ₁₄-σ₁₄σ₂₃²+σ₁₃σ₂₃σ₂₄-σ₁₂²σ₃₃λ₁₄+σ₁₂σ₂₄σ₃₃-σ₁₂σ₂₃σ₃₄

Single Door Criterion:

{1} ⊥ {4} | {3}
{1} ⊥ {3,4} | {2}
{1} ⊥ {4} | {2,3}

Instrumental Variable:

2 | {3}

Parameter: λ₂₃ Identified

Algebraic Equations:

σ₂₂λ₂₃-σ₂₃,
σ₁₂λ₂₃-σ₁₃

Single Door Criterion:

{2} ⊥ {3} | {}
{2} ⊥ {3,4} | {1}

Instrumental Variable:

1 | {}

Parameter: λ₃₄ Identified

Algebraic Equations:

σ₂₃²λ₃₄-σ₂₃σ₂₄-σ₂₂σ₃₃λ₃₄+σ₂₂σ₃₄,
σ₁₃σ₂₃λ₃₄-σ₁₃σ₂₄-σ₁₂σ₃₃λ₃₄+σ₁₂σ₃₄,
σ₁₃²λ₃₄-σ₁₃σ₁₄-σ₁₁σ₃₃λ₃₄+σ₁₁σ₃₄,
σ₁₂σ₁₃λ₃₄-σ₁₂σ₁₄-σ₁₁σ₂₃λ₃₄+σ₁₁σ₂₄,
-σ₁₂σ₁₄σ₂₃+σ₁₂σ₁₃σ₂₄+σ₁₂²σ₃₃λ₃₄-σ₁₁σ₂₂σ₃₃λ₃₄-σ₁₂²σ₃₄+σ₁₁σ₂₂σ₃₄,
-σ₁₂σ₁₄σ₂₂+σ₁₂²σ₂₃λ₃₄-σ₁₁σ₂₂σ₂₃λ₃₄+σ₁₁σ₂₂σ₂₄

Single Door Criterion:

{3} ⊥ {1,4} | {2}
{3} ⊥ {4} | {1}
{3} ⊥ {4} | {1,2}

Instrumental Variable:

2 | {1}

Parameter: ω₁₁ Identified

Algebraic Equations:

-σ₁₁+ω₁₁

Parameter: ω₁₂ Identified

Algebraic Equations:

-σ₁₂+ω₁₂

Parameter: ω₂₂ Identified

Algebraic Equations:

-σ₂₂+ω₂₂

Parameter: ω₃₃ Identified

Algebraic Equations:

σ₂₃²-σ₂₂σ₃₃+σ₂₂ω₃₃,
σ₁₃σ₂₃-σ₁₂σ₃₃+σ₁₂ω₃₃

Parameter: ω₄₄ Identified

Algebraic Equations:

-σ₁₄σ₂₄σ₃₃+σ₁₄σ₂₃σ₃₄+σ₁₃σ₂₄σ₃₄-σ₁₂σ₃₄²-σ₁₃σ₂₃σ₄₄+σ₁₂σ₃₃σ₄₄+σ₁₃σ₂₃ω₄₄-σ₁₂σ₃₃ω₄₄,
-σ₁₄²σ₃₃+2σ₁₃σ₁₄σ₃₄-σ₁₁σ₃₄²-σ₁₃²σ₄₄+σ₁₁σ₃₃σ₄₄+σ₁₃²ω₄₄-σ₁₁σ₃₃ω₄₄,
-σ₁₄²σ₂₃+σ₁₃σ₁₄σ₂₄+σ₁₂σ₁₄σ₃₄-σ₁₁σ₂₄σ₃₄-σ₁₂σ₁₃σ₄₄+σ₁₁σ₂₃σ₄₄+σ₁₂σ₁₃ω₄₄-σ₁₁σ₂₃ω₄₄,
-σ₁₄²σ₂₂σ₃₃+σ₁₂σ₁₄σ₂₄σ₃₃+σ₁₂σ₁₄σ₂₃σ₃₄-σ₁₂σ₁₃σ₂₄σ₃₄+σ₁₂²σ₃₄²-σ₁₁σ₂₂σ₃₄²-σ₁₂²σ₃₃σ₄₄+σ₁₁σ₂₂σ₃₃σ₄₄+σ₁₂²σ₃₃ω₄₄-σ₁₁σ₂₂σ₃₃ω₄₄,
-σ₁₄σ₂₂σ₂₄σ₃₃+σ₁₄σ₂₂σ₂₃σ₃₄+σ₁₂σ₂₃σ₂₄σ₃₄-σ₁₂σ₂₂σ₃₄²-σ₁₂σ₂₃²σ₄₄+σ₁₂σ₂₂σ₃₃σ₄₄+σ₁₂σ₂₃²ω₄₄-σ₁₂σ₂₂σ₃₃ω₄₄,
σ₁₄²σ₂₃²-σ₁₃²σ₂₄²-2σ₁₂σ₁₄σ₂₄σ₃₃+σ₁₁σ₂₄²σ₃₃+2σ₁₂σ₁₃σ₂₄σ₃₄-σ₁₂²σ₃₄²-σ₁₁σ₂₃²σ₄₄+σ₁₂²σ₃₃σ₄₄+σ₁₁σ₂₃²ω₄₄-σ₁₂²σ₃₃ω₄₄,
-σ₁₄²σ₂₂σ₂₃+σ₁₂σ₁₄σ₂₃σ₂₄+σ₁₂σ₁₄σ₂₂σ₃₄-σ₁₁σ₂₂σ₂₄σ₃₄-σ₁₂²σ₂₃σ₄₄+σ₁₁σ₂₂σ₂₃σ₄₄+σ₁₂²σ₂₃ω₄₄-σ₁₁σ₂₂σ₂₃ω₄₄

Total Effect of X₂ on X₄: λ₂₃λ₃₄ Identified

Each Parameter Identified

Back Door Criterion:


{2} ⊥ {3,4} | {1}

Vanishing Ideal

Constraint Set:

σ₁₃σ₂₂-σ₁₂σ₂₃,
σ₁₃σ₁₄σ₂₃-σ₁₃²σ₂₄-σ₁₂σ₁₄σ₃₃+σ₁₁σ₂₄σ₃₃+σ₁₂σ₁₃σ₃₄-σ₁₁σ₂₃σ₃₄

All constraints are determinantal

Trek-separation:

{1,2} ⊥ {2,3} | ({},{2})
{1,2,3} ⊥ {1,3,4} | ({},{1,3})